Zkouška Neznámý 25. 05. 2023

1. (10 b.)

Urcity integral od $\frac{\pi}{4}$ po $\frac{\pi}{3}$ $((\cos x) \log (\sin x) + (\cos x)^{-2}) dx =?$

Svůj výpočet přiměřeně zdůvodněte.

2.

• a) (2 b.) Definujte soucet rady.

• b) (3 b.) Ano nebo ne: kdys $c \in \R \setminus \{0\}$ a Suma an je rada, pak tato rada konverguje, práve kdy, konverguje rada Suma(an/ c)

• c) (3 b.) Když $a > 0$ je reálné císlo, pak Součet nekonecne rady : $(1 + a)^{-n} =?$

• d) (2b.) Spocitejte součet řady $\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{4}} - \frac{1}{\sqrt{4}} \dots$

Své odpovédi primérene zdüvodnête.

3.

• a) (2 b.) Kolik je spojitych funkci $f: R \rightarrow R$?

• b) (4 b.) Ano nebo ne: funkci f: (0, +0) -› R, f(x) = sqrt(x)log x, lze v 0 spojite -dodefinovat.

• c) (4 b.) Ano nebo ne: funkci f: R \ {0} -> R, f(x) = (sin x) /x^2? Ize v 0 spojité dodefinovat. Své odpovedi primerene zdüvodnête.

4.

• a) (1 b.) Napiste, co presne znamená, ze kazdá derivace má Darbou-xovu vlastnost.

• b) (6 b.) Dokazte to.