Zkouška Neznámý 25. 05. 2023

1. (10 b.)

Urcity integral od $\frac{\pi }{4}$ po $\frac{\pi }{3}$ $((\cos x)\log (\sin x)+(\cos x{)}^{-2})dx=?$

Svůj výpočet přiměřeně zdůvodněte.

2.

• a) (2 b.) Definujte soucet rady.

• b) (3 b.) Ano nebo ne: kdys $c\in \mathbb{R}\setminus \{0\}$ a Suma an je rada, pak tato rada konverguje, práve kdy, konverguje rada Suma(an/ c)

• c) (3 b.) Když $a>0$ je reálné císlo, pak Součet nekonecne rady : $(1+a{)}^{-n}=?$

• d) (2b.) Spocitejte součet řady $\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}}-\frac{1}{\sqrt{4}}\dots$

Své odpovédi primérene zdüvodnête.

3.

• a) (2 b.) Kolik je spojitych funkci $f:R\to R$?

• b) (4 b.) Ano nebo ne: funkci f: (0, +0) -› R, f(x) = sqrt(x)log x, lze v 0 spojite -dodefinovat.

• c) (4 b.) Ano nebo ne: funkci f: R \ {0} -> R, f(x) = (sin x) /x^2? Ize v 0 spojité dodefinovat. Své odpovedi primerene zdüvodnête.

4.

• a) (1 b.) Napiste, co presne znamená, ze kazdá derivace má Darbou-xovu vlastnost.

• b) (6 b.) Dokazte to.